Факты о числах. Это и простые числа и многие другие. Некоторые числа, такие как число Пи и ряд других мы вынесли в отдельные материалы. Так что советуем почитать и их. Приведем здесь несколько занимательных фактов о числах , которые, наверняка, будут вам интересны.

Факты про отрицательные числа

В наше время отрицательные числа известны многим, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа стали применять в Китае в III веке, но разрешено было их использовать лишь в исключительных случаях, так как их считали бессмыслицей. Несколько позднее отрицательные числа стали применять в Индии для обозначения долгов.

Так, в труде «Математика» в девяти книгах, изданном в 179 г. н. э., во времена династии Хань и прокомментированном в 263 г. Лю Хуэйем, в китайской системе счётных палочек для отрицательных чисел применялись чёрные палочки, а для положительных - красные. Также, для обозначения отрицательных чисел, Лю Хуэй использовал наклонные счётные палочки.

Знак «-», который сейчас используется для обозначения отрицательных чисел впервые был замечен в древнем манускрипте Бахшали в Индии, но среди учёных нет единого мнения относительно того, когда он был составлен, диапазон разногласий составляет от 200 г. до 600 г. н. э.

Отрицательные числа уже были известны в Индии в 630 г. н. э.. Они были использованы математиком Брахмагуптой (598-668 гг).

Впервые в Европе отрицательные числа начали использовать примерно в 275 г. н. э.. Их ввёл в обиход греческий математик Диофант Александрийский, но на Западе их считали абсурдными вплоть до появления книги «Ars Magna» («Великое искусство»), написанной в 1545 г. итальянским математиком Джироламо Кардано (1501-1576).

Факты о простых числах

Числа 2 и 5 являются единственными из ряда простых чисел, которые заканчиваются на 2 и 5.

Прочие факты о числах

Число 18, является единственным (кроме 0) числом, сумма цифр которого в 2 раза меньше него самого.

2520 является самым маленьким числом, которое можно без остатка поделить на все числа начиная с 1 и заканчивая 10.

Число «пять» на тайском языке произносится как «ха». Поэтому число составленное из трёх пятёрок - 555, будет произносится как сленг-фраза, обозначающая человеческий смех - "Ха, ха, ха".

Все мы знаем, что существую слова палиндромы. То есть те, которые можно читать слева направо и справа налево и значение их не меняется. Однако, существуют и числа-палиндромы (палиндромоны). Они представляют собой зеркальные числа, которое будет читается и иметь одинаковое значение в обоих направлениях, например, 1234321.

Слово Googol (происхождение бренда Google) обозначает число 1 со 100 нулями.

Единственным числом, которое нельзя написать римскими цифрами является "Ноль". Также, в современной математике ноль имеет некоторые особенности своей трактовки. Так, в российской математике его не причисляют к ряду натуральных чисел, а зарубежная наука относит.

Молоков Максим

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы.
Задачи:
1. Изучить историю открытия простых чисел.
2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел.
3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа.
4. Есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

История простых чисел МБОУ Суховская СОШ Автор: ученик 6 класса Молоков Максим Руководитель: учитель математики Бабкина Л. А. п. Новосуховый декабрь 2013 год

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы. Задачи: 1. Изучить историю открытия простых чисел. 2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел. 3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа. 4. есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл.

Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они называли совершенным числом. Например,числа 6 (6 = 1 + 2 +3) , 28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.. Пифагор (VI в. до н.э.)

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.

Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число Евклид (III в. до н.э.)

Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д.

Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Евклид (III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n ! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине Х I Х в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2 n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n ! заменил числом 2n. Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) русский математик и механик

Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Заключение Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту. Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Интернет – источники и литература http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Учебник «Математика» для шестого класса образовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург – М. Мнемозина 2010 г./

Отдел образования и молодежной политики администрации

Яльчикского района Чувашской Республики

Проект
Простые числа…

Так ли проста их история?

Выполнила ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Ефимова Марина

Руководитель: учитель математики I категории МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.

с.Новые Шимкусы - 2007

1. 
   Определение простых чисел 3
2. 
   Заслуги Эйлера 3
3. 
   Основная теорема арифметики 4
4. 
   Простые числа Мерсена 4
5. 
   Простые числа Ферма 5
6. 
   Решето Эратосфена 5
7. 
   Открытие П.Л.Чебышева 6
8. 
   Проблема Гольдбаха 7
9. 
   И.М.Виноградов 8
10. 
    Заключение 8
11. 
    Литература 10

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практи­ческой необходимостью. Привлекала их необычайная ма­гическая сила. Числа, которыми можно выразить коли­чество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечатель­ной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, откры­тых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом.

Когда число с = а b является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или дели­телями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 *с = с*1.

Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.

В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без едини­цы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может».

Единица и в самом деле - число уникальное по свой­ствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень рав­на тому же самому числу - единице!

После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Заслуги Эйлера

Леонард Эйлер

(1707-1783)

У Эйлера учились все - ив Западной Европе, и в Рос­сии. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, механика, диоптри­ка, артиллерия, морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал бо­лее ста сочинений по теории чисел.

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число, отличное от 1, либо явля­ется простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей.

Доказательство. Возьмем натуральное число п≠ 1. Если n - простое, то это тот случай, о котором сказано в заключении теоремы. Теперь предположим, что n - со­ставное. Тогда оно представлено в виде произведения п = а b , где натуральные числа а и b меньше n. Опять либо a и b - простые, тогда все доказано, либо хотя бы одно из них составное, т. е. составлено из меньших множителей и так далее; в конце концов мы получим разложение на про­стые множители.

Если число n не делится ни на одно простое, не пре­восходящее √ n , то оно является простым.

Доказательство. Предположим противное, пусть n - составное и п = аЬ, где 1 ≤b и р - простой делитель числа а, значит, и числа n. По усло­вию п не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n . Следовательно, р >√ n . Но тогда а >√ n и √ n ≤ а ≤ b,

откуда п = а b = √ n √ n = п; пришли к противоречию, предположение было неверным, теорема доказана.

Пример 1. Если с = 91, то √ с = 9, ... проверим про­стые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 13.

Пример 2. Если с = 1973, то находим √ c = √ 1973 =44, ...

так как ни одно простое число до 43 не делит с, то это число является простым.

Простые числа Мерсена

В течение нескольких столетий шла погоня за просты­ми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида M p = 2 p - 1

где р - другое простое число.

Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Меренна Мерсена (1589-1648), который долго занимался проблемой современных чисел.

Если вычислять числа по этой формуле, получим:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – простое;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – простое;

M 5 = 2 5 – 1 = 31– простое;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – простое;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.

В исследовании чисел Мерсена можно выделить ран­нюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил, что число M 31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мер­сена: " г

р = 2, р= 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, р = 19, р =31.

Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из из­вестных простых чисел более ста лет.

В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число M 127 - с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использова­лись механические настольные счетные машины.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257.

Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена.

Затем задача была переложена на ЭВМ.

Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достиже­нием, что изобразил это число на своем почтовом штемпе­ле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылае­мом письме для всеобщего обозрения.

Простые числа Ферма

Существует еще один тип про­стых чисел с большой и интерес­ной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), кото­рый прославился своими выдающи­мися математическими работами.

Пьер Ферма (1601-1665)
Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удов­летворяли формуле F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Однако, это предположение было сдано в архив не­оправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма F 5 = 641 6 700 417 является со­ставным.

Возможно, что история чисел Ферма была бы законче­на, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче - на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Однако ни одного простого числа Ферма не было най­дено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Решето Эратосфена

Существуют таблицы простых чисел, простирающих­ся до очень больших чисел. Как подступиться к составле­нию такой таблицы? Эта задача была, в известном смыс­ле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математи­ком из Александрии. -

Его схема состоит в следующем. Напишем последова­тельность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу.

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каж­дое второе число. Начнем с 2 (кроме самого числа 2), т. е. четных чисел: 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркиваем каждое из них.

После этой операции первым неподчеркнутым числом будет 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставляя число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое тре­тье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15... Некоторые из них были уже подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20... Как и раньше, часть из них оказалась под­черкнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу.

Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получа­лось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел назы­вают «решетом Эратосфена».

Сколько всего простых чисел? Есть ли последнее про­стое число, т. е. такое, после которого все числа будут составными? Если такое число есть, то как его найти? Все эти вопросы интересовали ученых еще в глубокой древно­сти, но ответ на них оказалось не так-то просто найти.

Эратосфен был остроумнейшим человеком. Этот совре­менник и друг Архимеда, с которым он постоянно пере­писывался, был и математиком, и астрономом, и механи­ком, что считалось естественным для великих мужей того времени. Он первым измерил диаметр земного шара, при­чем не выходя из александрийской библиотеки, где рабо­тал. Точность его измерения была поразительно высокой, даже выше той, с которой измерил Землю Архимед.

Эратосфен изобрел хитроумный прибор - мезолабит, с помощью которого механически решил известную зада­чу об удвоении куба, чем очень гордился, и потому отдал распоряжение изобразить этот прибор на колонне в Алек­сандрии. Мало того, он поправил египетский календарь, добавив один день к четырем годам - в високосный год.

Решето Эратосфена - это примитивное и в то же вре­мя гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на общеизвестную мысль, что все гениальное просто.

Эратосфеново решето неплохо поработало на исследо­вателей далеко не простых чисел. Шло время. Шли поис­ки способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Открытие П.Л. Чебышева

Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже виде­ли, что простые числа размещаются без какого-либо по­рядка. Проследим более подробно.

2 и 3 - простые числа. Это единственная пара про­стых чисел, стоящих рядом.

Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близ­нецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: 10016957 и 10 016 959.

Панфутий Львович Чебышев

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распреде­лении или нет?

Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.

Первый и очень большой шаг в раз­решении этих вопросов сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что меж­ду любым натуральным числом (не рав­ным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n. и найдем соответственно значение 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.

Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чи­сел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечно­сти количества простых чисел.

Едва ли не самый добрый, самый восторженный от­клик на открытие Чебышева пришел из Англии от извест­ного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов те­ории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей прони­цательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев пре­восходит этими качествами обыкновенных людей».

Более чем полвека спустя немецкий математик Э. Лан­дау, крупный специалист в теории чисел, добавил к это­му высказыванию следующее: «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении пробле­мы простых чисел и достиг важных результатов».
Проблема Гольдбаха

Выпишем все простые числа от 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 предста­вить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:

Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?

В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встре­тил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой за­дачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформу­лирована следующим образом.

Требуется доказать или опровергнуть предложение:

всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разре­шить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Мно­гие пришли к выводу о невозможности ее решить.

Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.

И.М. Виноградов

Иван Матвеевич Виноградов явля­ется одним из крупнейших современ­ных математиков. Родился он 14 сен­тября 1891 г. в селе Милолюб Псков­ской губернии. В 1914 г. окончил Пе­тербургский университет и был остав­лен для подготовки к профессорскому званию.

Свою первую научную работу И.М. Виноградов написал в 1915 г. С тех пор им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над кото­рыми ученые всего мира трудились десятки и сотни лет.

Иван Матвеевич Виноградов
За заслуги в области математики И.М. Виноградов все­ми учеными мира признан одним из первых математиков современности, избран в число членов многих академий мира.

Мы гордимся нашим замечательным соотечественни­ком.

Беседу о простых числах начнем увлекательным рас­сказом о воображаемом путешествии из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.). «...а) мысленно возьмем прямолинейный провод, вы­ходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, и далее - в мировую бесконечность;

б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с бли­жайшей: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;

в) мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; : .

г) мысленно долетим вблизи провода.

Перед нами развернется следующая картина.

1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.

2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 - оба простые числа. Могут ли в дальней­шем встретиться две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему? Всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а смежные с простым по ту и другую сто­рону будут числа четные, а всякое четное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.

3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: это близнецы. Замечаем, что в даль­нейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например

6*3 ± 1 равно 19 и 17

или 6*5 ± 1 равно 31 и 29, ...;

но 6*20 ± 1 равно 121 и119- эта пара не близнец, так как есть пара составных чи­сел.

Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.

4. Но вот начинает действовать закон большого проме­жутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светя­щиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.

5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспо­минаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаива­емся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».
Литература
1. Великий мастер индукции Леонард Эйлер.

2. За страницами учебника математики.

3. Прудников Н.И. П.Л. Чебышев.

4. Сербский И. А. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.

5. Издательский дом «Первое сентября». Математика №13, 2002 г.

6. Издательский дом «Первое сентября». Математика №4, 2006 г.

Простые числа - это целые числа больше единицы, которые не могут быть представлены как произведение двух меньших чисел. Таким образом, 6 - это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 2×3, а 5 - это простое число, потому что единственный способ представить его как произведение двух чисел - это 1×5 или 5×1. Если у вас есть несколько монет, но вы не можете расположить их все в форме прямоугольника, а можете только выстроить их в прямую линию, ваше число монет - это простое число.

Бесконечное число простых чисел

Некоторые считают, что простые числа не стоят глубокого изучения, но они имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа - это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.

Так как простые числа - это строительные элементы целых чисел, которые получаются с помощью умножения, многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел. Подобным образом некоторые задачи в химии могут быть решены с помощью атомного состава химических элементов, вовлеченных в систему. Таким образом, если бы существовало конечное число простых чисел, можно было бы просто проверить одно за другим на компьютере. Однако оказывается, что существует бесконечное множество простых чисел, которые на данный момент плохо понимают математики.

Греческий математик Евклид доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. Если у вас есть определенное количество простых чисел, например p1,… pn, вы можете рассмотреть число p1×…×pn + 1, которое на единицу больше, чем все простые числа, умноженные друг на друга. Это число не может быть произведением любых чисел p1,… pn из вашего списка, но оно точно больше, чем 1. Так что все простые множители должны быть простыми числами, которых нет в вашем списке. Добавляя новые простые числа в ваш список и повторяя те же действия, вы всегда можете найти по крайней мере одно новое простое число. Поэтому должно существовать бесконечное множество простых чисел.

История изучений

Никто точно не знает, в каком обществе стали впервые рассматривать простые числа. Их изучают так давно, что у ученых нет записей тех времен. Есть предположения, что некоторые ранние цивилизации имели какое-то понимание простых чисел, но первым реальным доказательством этого являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад.

Древние греки, скорее всего, были первыми, кто изучал простые числа как предмет научного интереса, и они считали, что простые числа важны для чисто абстрактной математики. Теорему Евклида по-прежнему изучают в школах, несмотря на то что ей уже больше 2000 лет.

После греков серьезное внимание простым числам снова уделили в XVII веке. С тех пор многие известные математики внесли важный вклад в наше понимание простых чисел. Пьер де Ферма совершил множество открытий и известен благодаря Великой теореме Ферма, 350-летней проблеме, связанной с простыми числами и решенной Эндрю Уайлсом в 1994 году. Леонард Эйлер доказал много теорем в XVIII веке, а в XIX веке большой прорыв был сделан благодаря Карлу Фридриху Гауссу, Пафнутию Чебышёву и Бернхарду Риману, особенно в отношении распределения простых чисел. Кульминацией всего этого стала до сих пор не решенная гипотеза Римана, которую часто называют важнейшей нерешенной задачей всей математики. Гипотеза Римана позволяет очень точно предсказать появление простых чисел, а также отчасти объясняет, почему они так трудно даются математикам.

Практические применения

У простых чисел существует огромное количество применений как в области математики, так и за ее пределами. Простые числа в наши дни используются практически ежедневно, хотя чаще всего люди об этом не подозревают. Простые числа представляют такое значение для ученых, поскольку они являются атомами умножения. Множество абстрактных проблем, касающихся умножения, можно было бы решить, если бы люди знали больше о простых числах. Математики часто разбивают одну проблему на несколько маленьких, и простые числа могли бы помочь в этом, если бы понимали их лучше.

Вне математики основные способы применения простых чисел связаны с компьютерами. Компьютеры хранят все данные в виде последовательности нулей и единиц, которая может быть выражена целым числом. Многие компьютерные программы перемножают числа, привязанные к данным. Это означает, что под самой поверхностью лежат простые числа. Когда человек совершает любые онлайн-покупки, он пользуется тем, что есть способы умножения чисел, которые сложно расшифровать хакеру, но легко покупателю. Это работает за счет того, что простые числа не имеют особенных характеристик - в противном случае злоумышленник мог бы получить данные банковской карты.

Поиск новых простых чисел

Один из способов нахождения простых чисел - это компьютерный поиск. Путем многократной проверки того, является ли число множителем 2, 3, 4 и так далее, можно легко определить, простое ли оно. Если оно не является множителем любого меньшего числа, оно простое. В действительности это очень трудоемкий способ выяснения того, является ли число простым. Однако существуют более эффективные пути это определить. Эффективность этих алгоритмов для каждого числа является результатом теоретического прорыва 2002 года.

Простых чисел достаточно много, поэтому если взять большое число и прибавить к нему единицу, то можно наткнуться на простое число. В действительности многие компьютерные программы полагаются на то, что простые числа не слишком трудно найти. Это значит, что, если вы наугад выберете число из 100 знаков, ваш компьютер найдет большее простое число за несколько секунд. Поскольку 100-значных простых чисел больше, чем атомов во Вселенной, то вполне вероятно, что никто не будет знать наверняка, что это число простое.

Как правило, математики не ищут отдельных простых чисел на компьютере, однако они очень заинтересованы в простых числах с особыми свойствами. Есть две известные проблемы: существует ли бесконечное количество простых чисел, которые на один больше, чем квадрат (например, это имеет значение в теории групп), и существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2.

Тайны простых чисел

Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, которую можно объяснить ребенку школьного возраста, однако величайшие математические умы ломают над ней голову уже более 100 лет.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Ответ на самый простой вопрос - сколько есть простых чисел определенного размера - теоретически можно получить, решив гипотезу Римана. Дополнительный стимул доказать гипотезу Римана - приз размером в один миллион долларов, предложенный математическим институтом Клэя, равно как и почетное место среди самых выдающихся математиков всех времен.

Сейчас существуют неплохие способы предположить, каким будет правильный ответ на многие из этих вопросов. На данный момент догадки математиков проходят все численные эксперименты, и есть теоретические основания, чтобы на них полагаться. Однако для чистой математики и работы компьютерных алгоритмов чрезвычайно важно, чтобы эти догадки действительно были верными. Математики могут быть полностью удовлетворены, только имея неоспоримое доказательство.

Самым серьезным вызовом для практического применения является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 15, можно быстро определить, что 15=5×3. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного суперкомпьютера в мире. Интернет-безопасность во многом зависит от сложности таких вычислений, потому для безопасности коммуникации важно знать, что кто-то не может просто взять и придумать быстрый способ найти простые множители.

Современные исследования

Несмотря на то, что эта тема стара и затрагивала многих известных математиков на протяжении всей истории, она по-прежнему актуальна. Ученые не знают, существует ли бесконечное количество пар таких простых чисел, как 3 и 5, отличающихся на 2. Это известная нерешенная проблема. Математик Итан Чжан сделал большой прорыв в отношении этой проблемы. В начале 2013 года ученые не знали, существует ли бесконечное количество пар простых чисел в пределах 1 квинтиллиона друг от друга или для любого числа, помимо 1 квинтиллиона, независимо от его величины. Благодаря теоретическим наработкам, основанным на работе Чжана, математики знают, что существует бесконечное количество простых чисел, отличающихся друг от друга не больше чем на 246. Число 246 гораздо больше двух, однако оно заметно меньше бесконечности.

Вместо того чтобы искать простые числа, находящиеся рядом, можно искать те из них, что находятся далеко друг от друга на числовой оси. Заметный теоретический прорыв в этой проблеме был сделан впервые за более чем 75 лет в начале 2014 года, когда исследователи из Математического института Оксфорда решили одну из проблем Эрдёша. Другие два интересных решения проблем Эрдёша, связанных с простыми числами, были сделаны Бобом Хафом и Теренсом Тао, чья работа была основана на еще одном прорыве, сделанном Каисой Матомаки и Максимом Раджвиллом в 2014 году. Харальд Гельфготт с Дэвидом Платтом наконец доказали слабую гипотезу Гольдбаха, доведя до кульминации сто лет различных находок. Математики привыкли к тому, что нужно ждать десять лет до достижения серьезного результата в области простых чисел, однако на этот раз получили полдюжины таких результатов за последние три года.

Простые числа в будущем

Сейчас невозможно сказать, как простые числа будут использоваться в будущем. Чистая математика (например, изучение простых чисел) неоднократно находила способы применения, которые могли показаться совершенно невероятными, когда теория впервые разрабатывалась. Снова и снова идеи, воспринимавшиеся как чудной академический интерес, непригодный в реальном мире, оказывались на удивление полезными для науки и техники. Годфри Харольд Харди, известный математик начала XX столетия, утверждал, что простые числа не имеют реального применения. Сорок лет спустя был открыт потенциал простых чисел для компьютерной коммуникации, и сейчас они жизненно необходимы для повседневного использования интернета.

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, как интернет проникает в жизнь, а технологии и компьютеры играют большую роль, чем когда-либо раньше.

Существует мнение, что определенные аспекты теории чисел и простых чисел выходят далеко за рамки науки и компьютеров. В музыке простые числа объясняют, почему некоторые сложные ритмические рисунки долго повторяются. Это порой используется в современной классической музыке для достижения специфического звукового эффекта. Последовательность Фибоначчи постоянно встречается в природе, и есть гипотеза о том, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества. Также предполагается, что передача простых чисел по радиоволнам была бы лучшим способом для попытки установления связи с инопланетными формами жизни, поскольку простые числа абсолютно независимы от любого представления о языке, но при этом достаточно сложны, чтобы их нельзя было спутать с результатом некоего в чистом виде физического природного процесса.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Абакана

«Средняя общеобразовательная школа № 19»

Математика

Простые числа-это просто

Лысова

Эльмира,

6 Б класс

Руководитель:

Быковская

Ирина Сергеевна,

учитель математики

КОД _____________________________

Математика

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА - ЭТО ПРОСТО

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение

Глава 1. Простые числа

1.1. Определение простого числа.

1.2. Бесконечность ряда простых чисел.

1.3. Самое большое простое число.

1.4. Способы определения (поиска) простых чисел.

Глава 2. Применение теории простых чисел

2.1. Примеры некоторых утверждений теории простых чисел известных советских ученых.

2.2.Примеры ряда проблем в теории простых чисел.

2.3. Задачи прикладного характера (№1, №2)

2.4.Задачи на применение законов простых чисел(№3 №,4)

2 .5. Магические квадраты.

2.6.Применение закона простых чисел в различных областях

Заключение

Приложение

«В мире царит гармония,

и выражена эта гармония – в числах»

Пифагор.

ВВЕДЕНИЕ

Математика удивительна. Действительно, доводилось ли кому-либо видеть своими глазами число (не три дерева и не три яблока, а само число 3). С одной стороны, число есть вполне абстрактное понятие. Но, с другой стороны, всё, происходящее в мире, может быть в той или иной степени измерено, а значит, представлено в числах

На уроках математике при изучении темы «Простые и составные числа» меня заинтересовали простые числа, история их возникновения и способы получения. Я обратилась в библиотеку, интернет, где и приобрела нужную литературу. Хорошенько изучив её, я поняла, что существует очень много интересной информации о простых числах. Простые числа, которые были введены примерно две с половиной тысячи лет назад, а нашли неожиданное практическое применение совсем недавно. Узнала, что существуют Законы простых чисел, выраженные через формулу, но есть ряд проблем в теории чисел. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться. Знание открытых законов позволяет создать качественно новые решения во многих областях, интересуют как ученых, так и простых граждан. Тема заинтересовала и меня. Объектом исследования являются исключительно абстрактное понятие – простое число . Предметом изучения простого числа послужили: теория о простых числах, способы их задания, интересные открытия в этой области и их применение в практических целях.

Целью моей работы является расширение представлений о простых числах. Определила следующие задачи:

познакомиться с историей развития теории о простых числах,

сформировать общее представление о способах нахождения простых чисел,

узнать интересные достижений советских ученых в области теории простых чисел,

рассмотреть некоторые проблемы в теории простых чисел,

познакомиться с применения теории простых чисел в различных областях,

понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда с помощью способа «Решето Эратосфена» в пределах до 100; 1000,

изучить применение простых чисел в задачах.

I . ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

1. Понятие простого числа

Простые числа - одно из чудес математик. Один, два, три... С этими словами вступаем мы в страну чисел, она не имеет границ. С виду плоские, близкие числа при более близком знакомстве с ними опаляют нас своим внутренним жаром, обретают глубину.

С разложением чисел на множители мы знакомы с начальной школы. При отыскании общего знаменателя приходится разлагать на множители знаменатели слагаемых. Разлагать на множители приходится при сокращении дробей. Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единственным образом разлагается на простые множители.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 х 11 х 13

Разложение чисел на простые множители показывает, что всякое число является либо простым, либо произведением двух или нескольких простых чисел. Поэтому можно сказать, что простые числа являются составными элементами натуральных чисел, как бы кирпичами, из которых, при помощи действия умножения, составляются все целые числа.

Простым числом называется натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1).

Несколько любопытных фактов.

Число 1 не является простым числом и не составным.

Единственным четным числом, попавшим в группу «простые числа» является двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытны числа - «близнецы»- простые числа, разность между которыми равна2 . Называют их так потому, что они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным числом (пять и семь, семнадцать и девятнадцать). Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Пары близнецов с общим элементомобразуют пары простых чисел - «двойников» (три и пять , пять и семь).

1. Бесконечность ряда простых чисел.

Издавна бросалась в глаза нерегулярность распределения простых чисел среди всех натуральных чисел. Было замечено, что по мере продвижения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются всё реже. Поэтому одним из первых вопросов был такой: существует ли последнее простое число, то есть, имеет ли ряд простых чисел конец? Около 300 лет до нашей эры на этот вопрос дал отрицательный ответ знаменитый древнегреческий математик Евклид. Он доказал, что за каждым простым числом имеется, ещё большее простое число, то есть, существует бесчисленное множество простых чисел.

Самое старое известное доказательство этого факта было дано в « » (книга IX, утверждение 20).

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Итак, нельзя принять, что ряд простых чисел конечен: предположение это приводит к противоречию. Таким образом, какую бы длинную серию последовательности составных чисел мы не встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется ещё бесконечное большее число.

Математики предлагали и другие доказательства.

1.3.Самое большое простое число.

Одно дело быть уверенным в том, что существуют какие угодно большие простые числа, а другое дело - знать, какие числа являются простыми. Чем больше натуральное число, тем больше вычислений надо провести, чтобы узнать, является ли оно простым или нет.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер в ХVIII столетии, он нашел простое число 2147483647.

Наибольшим известным простым число-рекордсмен по состоянию на июнь 2009 года является 2 в степени 43112609 – 1 (открыл Купера из Университета Центрального Миссури в СШ А). Оно содержит 12 978 189 и является простым . Благодаря этому ученому простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. Чтобы их определить, потребовалось 75 мощных компьютеров.

Числа вида: 2 в степени n минус 1 , где n тоже простое число, относятся к числам Мерсенна . Купера сделал новое математическое открытие в 2013 г.. Ему удалось найти самое длинное простое число в мире. Записано оно следующим образом – 2 в степени 57885161 - 1. Число содержит более 17 миллионов цифр. Для того чтобы распечатать его на бумаге понадобится более 13 тысяч страниц формата А4.
Теперь новый рекорд в классе простых чисел Мерсенна записывается как 2 в степени 57885161 - 1 , в нём 17425170 цифр. Открытие нового рекордсмена принес Куперу денежный приз в размере 3 тысяч долларов

Фонд Электронных Рубежей также обещает наградить 150 и 250 тысячами долларов США людей, которые представят миру простые числа, состоящие из 100 миллионов и миллиарда символов

1. Способы определения (поиска) простых чисел.

а) Решето Эратосфена.

Существуют различные способы поиска простых чисел. Первый, кто занимался задачей «выписать из множества натуральных чисел простые», был великий греческий математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Он придумал такой способ: записал все числа от единицы до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.), в конце концов оставались не вычеркнутыми только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Таким образом, Эратосфен изобрёл способ, посредством которого можно отсеять все простые числа от 1 до некоторого определённого числа путем вычленения всех чисел кратных каждому простому числу. Этот способ называется «Решето Эратосфена». - самый простой способ нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Греки делали записи на покрытых воском табличках или на папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето.

Возможно, ли распознать простое число, как говорится, с первого взгляда? Если зачерпнуть в сито сразу много чисел, сверкнет ли среди них простое, как золотой самородок? Некоторые считают, что да. Например, числа, оканчивающиеся на 1, часто оказываются искомыми, скажем, такие как 11, 31, 41. Однако при этом следует быть осторожным и не принять фальшивое золото за чистое, как, скажем, 21 или 81. По мере роста величины чисел, единица на конце все чаще вводит нас в заблуждение. Создается даже впечатление будто простые числа, в конце концов, просто исчезают, как полагали некоторые древние греки.

б) Составление таблиц способом «Решета Эратосфена»

а) Решето Эратосфена, как теоретический метод исследования, в теории чисел был введен в 1920 году Норвежским математиком В.Бруном. Используя этот способ, ученые составили таблицы простых чисел между 1 и 12 000 000

Истинным героем в составлении таблицы простых чисел является профессор Чешского университета в Праге Якуб Филип Кулик (1793-1863).

Он, не имея никаких видов на печатание своего труда, составил таблицу делителей чиселпервых ста миллионов , точнее чисел до 100 320 201 , и поместил её в библиотеке Венской Академии наук для пользования работающими в этой области.

Мы на уроках математики пользуемся таблицей, приведенной на форзаце учебника в пределах 1000.

в) Составление таблиц с помощью вычислительной техники

Внедрение средств вычислительной техники в теоретическую и прикладную математику существенно облегчило решение задач, связанных с трудоёмкими расчётами.

В память достаточно сложных компьютеров можно заложить табличные данные любого объёма, однако такими возможностями пока ещё не обладают калькуляторы индивидуального пользования. Поэтому над проблемами составления компактных и удобных таблиц, предназначенных, в частности, для анализа чисел, продолжают работать специалисты-математики.

Применение для этой цели вычислительных машин позволило сделать весьма существенный шаг вперёд. Например, современная таблица чисел, для составления которой была привлечена вычислительная техника, охватывает числа до 10 000 000 . Это довольно объёмистая книга.

На практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются .

Использование специализированных алгоритмов по определению простоты числа (является ли число простым?) позволяет осуществить поиски простого числа в заданных пределах натурального ряда чисел.

д) Открытие века – Закон простыхчисел

Еще в глубокой древности ученых интересовал вопрос о том, по какому закону расположены в натуральном ряду простые числа. Русский Пифагор – Владимир Хренов – своим открытием Закона простых чисел произвел шок в научном мире. Этот закон не только возвращает математику в правильное русло, но и объясняет многие законы природы с точки зрения истинного познания мира. Русский гений, Владимир Хренов сделал научное открытие , которое переворачивает существующее представление о времени и пространстве , что простые числа - это не хаос .

Простые числа получаются по формуле: «6Х плюс-минус 1» , где Х любое натуральное число.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Открытие было сделано 30 апреля 2000 года. Это была юбилейная Пасха Воскресения Христа. Знаменательная дата. В этот день открылась истинная модель реального пространства и времени. 7 января 2001 года был описан закон простых чисел, а вместе с ним – закономерности формирования всех чисел натурального ряда. Так вот, после открытия закона простых чисел стало понятно, что е диница – эталон пространства, шесть – эталон времени, а в совокупности два эталона пространства и времени творят все многообразие природы и являются вечной первопричиной всего . Теперь, после открытия Закона простых чисел, стало ясно, что они образуются научное обоснование магии числа 7. Данный закон имеет не только колоссальное мировоззренческое, но позволяет создавать технологии защиты информации нового поколения, основанные на данной теории. Для создания нового нужно новое простое число. Вот почему математикам, открывшим его, выплачивают такие огромные суммы.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

1. Примеры некоторых утверждений теории простых известных советских ученых по теории простых чисел.

Хотя со времени Евклида прошло более двух тысяч лет, к его теории ничего нового не добавилось. Простые числа в натуральном ряду располагаются чрезвычайно прихотливо. Однако, существует огромное количество загадок, связанных с простыми числами.

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. Меня заинтересовали простые и в то же время удивительные утверждения, которые доказали в этой области известные советские ученые. Я их рассмотрела и привела ряд примеров, подтверждающих истину высказываний.

П.Л.Чебышев (1821-1894) доказал, что между любым натуральным числом больше 1, и числом вдвое больше данного, всегда имеется хотя бы одно простое число.

Рассмотрим следующие пары простых чисел, удовлетворяющих этому условию.

Примеры:

и 4 - простое число 3.

и 6 - простое число 5.

10 и 20 -простые числа 11; 13; 17; 19.
5 и 10 - простое число 7.

7 и 14 - простые числа 11; 13.

11 и 22 - простые числа 13; 17; 19.

Вывод : действительно, между любым натуральным числом больше 1 и числом вдвое больше данного, имеется хотя бы одно простое число.

Христиан Гольдбак, член Петербургской академии наук, почти 250 лет назад высказал предложение, что любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Примеры:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Виноградов ИМ. (1891-1983), советский математик, доказал это предложение лишь 200 лет спустя.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Но утверждение « Любое четное чисто, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел » до сих пор не доказано.

Примеры:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Примеры ряда проблем в теории простых чисел.

Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен, Сундарам предложили первые алгоритмы тестирования чисел на простоту. Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство . Она входит , за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Наиболее известные проблемы простых чисел были перечислены на Пятом . Сегодня ученые говорят о 23 проблемах.

Мне удалось рассмотреть 4 из них, привести ряд примеров по каждой проблеме.

Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха):

доказать или опровергнуть:

Каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.

Примеры:

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Вторая проблема Ландау (проблема Гольдбаха) :

бесконечно ли множество «простых близнецов» - простых чисел, разность между которыми равна 2?

а) Определила следующие числа «близнецы»:

3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;

б). Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Мне удалось найти следующие пары близнецов - «двойников»

Решение:

(3, 5) и (5, 7);

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но никто не знает, конечно, или бесконечно множество пар близнецов.

Третья проблема Ландау (гипотеза )

верно ли, что между числами вида n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?( n – нечетное число)

Решение:

а) при n =3, получим 6 и 8, между ними простое число 7.

б) при n =5, получим 10 и 12, между ними простое число 11.

в) при n =9, получим 18 и 20, между ними простое число 19.

4.Четвёртая проблема Ландау:

бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1?

Решение:

при n =1, то имеем 3; при n =2, то имеем 5; при n =3, то имеем 7

при n =5, то имеем 11, при n =6 то имеем 13; при n =8, то имеем 17 и т.д.

2.3. Задачи прикладного характера

Задача 1. С помощью решета Эратосфена определите сколько простых чисел находится от 1 до 100.

Решение:

Для этого выпишем все числа от 1 до 100 вряд. .

Будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. Вычеркнем 1,так как это не простое число. Первое простое число 2.

Подчеркнем его и вычеркнем все числа кратные 2, то есть числа 4, 6, 8... 100 следующее простое число 3. Подчеркнём его и вычеркнем числа кратные 3, которые остались не вычеркнутыми, то есть числа 9 ? 15, 21 ... 99. Затем подчеркнем простое число 5 и вычеркнем все числа кратные 5. Числа 25...95. И так далее, пока не останется одно простое число 97.

Вывод: Между 1 и 100 находится 25 простых чисел, то есть числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Приложение 1)

Задача 2. Чтобы получить список простых чисел, меньше 1000 надо «отсеять» числа, которые делятся на 2, 3, 5, 7, 11 … На каком числе при этом можно остановиться?

Решение:

Используя метод Эратосфена, мной была проведена аналогичная

работа по отсеиванию составных чисел в пределах до 1000.

Вывод: чтобы получить простые чисел до 1000 можно остановиться на простом числе 31 (вычеркнуть числа кратные 31). (Приложение 2)

2.4.Задачи на применение законов простых чисел

Задача 3. Как с помощью двух проверок показать, что число 19 – простое?

Решение представлено в приложении 3.

Задача 4. Как с помощью трёх проверок показать, что число 47 – простое?

Решение представлено в приложении 4.

2.5 Магические квадраты .

Простым числам посвящено множество занимательных математических задач в применении квадратных матриц – магических квадратов, у которых суммирование элементов по любой строке, любому столбцу и двум главным диагоналям дает одно и то же число.

Первый из них была придуман Генри Эрнестом Дьюдни, известным английским специалистом по головоломкам.

Существуют ли магические квадраты, состоящие только из простых чисел? Оказывается, да.

Я изучила магические квадраты размером 3х3, 4х4., 6х6.Определила сумму вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой главной диагонали каждого из этих квадратов. Решение представлено в приложении 5.

вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой главной диагонали. привожу примеры квадратов, с матрицей 3х3, 4х4, 6х6.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

Вывод :

1.Магический квадрат 1 размером 3х3 имеет сумму 111 (между прочим, тоже не простое число)

2. Магический квадрат 2 размером 4х4 имеет сумму?

3. Магический квадрат 3 размером 6х6 имеет сумму?

3.4. Применение закона простых чисел в различных областях.

Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. Знание законов позволило дать такие запатентованные технические решения защиты передачи информации, которые на существующем математическом базисе считались просто невозможными. Простые числа необходимы для создания шифров. Рано или поздно всякий шифр рассекречивается.

Здесь ученые обращаются к одному из важнейших разделов информатики – к криптографии . Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Я попробовала проиллюстрировать проблему, с которой сталкивается дешифровщик для расшифровки некоего пароля. Допустим, паролем является один из делителей составного числа, а дешифровщиком выступает человек. Возьмем число из первого десятка, например, 8. Каждый (я надеюсь) человек способен в уме разложить число 8 на простые множители – 8=2*2*2. Усложним задачу: возьмем число из первой сотни, например, 111. В этом случае 111 быстро разложат в уме на множители люди, знающие признаки делимости числа на 3 (если сумма цифр числа кратна 3, то данное число делится на 3), и действительно - 111=3*37. Усложняя задачу, возьмем число из первой тысячи, например 1207. Человеку (без использования машинной обработки) потребуется, как минимум, бумага и ручка, для того чтобы перепробовать деление числа 1207 на «все» предшествующие этому числу простые числа. И только перебрав последовательно деление 1207 на все простые числа от 2 до 17 человек, наконец то, получит второй целый делитель данного числа – 71. Однако и 71 необходимо так же проверить на простоту.

Становится понятно, что с увеличением разрядности чисел, например, пятизначного числа - 10001, разложение (в нашем примере дешифровка пароля) без машинной обработки займет большое количество времени. Современный этап развития компьютерной техники (доступный рядовому пользователю) позволяет за считанные секунды раскладывать на множители числа, состоящие из шестидесяти цифр.

Задумайтесь, сколько жизней должен прожить человек, чтобы разложить данное число на простые множители без помощи машин!

На сегодняшний день разложить числа, состоящие из тысячи и более цифр, за соизмеримое с человеческой жизнью время, способны только ! Именно с их помощью ученные находят все новые и новые, , простые числа.

Я узнала, что знание открытых законов позволит создать качественно новые решения в следующих областях:

Сверх защищённая операционная система для банков и корпораций.

Система борьбы с контрафактной продукцией и поддельными денежными знаками.

Система дистанционной идентификации и борьбы с угонами автотранспорта.

Система борьбы с распространением компьютерных вирусов.

Компьютеры нового поколения на нелинейной системе счисления природы.

Математико-биологическое обоснование теории гармонии восприятий.

Математический аппарат для нано – технологий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе работы над данной темой мне удалось расширить представление о простых числах по следующим направлениям:

изучила интересные стороны развития теории простых чисел, познакомилась с новыми достижениями ученых доступные для моего понимания в этой области и практическом ее применении,

сформировала общее представление о способах нахождения простых чисел, освоила принцип выделения простых чисел из натурального ряда с помощью способа «Решето Эратосфена» в пределах до 100; 1000,

изучила применение теории простых чисел в задачах,

познакомилась с применением теории простых чисел в различных областях.

В ходе написания работы мне удалось освоить два способа получения ряда простых чисел:

практический способ – отсеивание (решето Эратосфена),

аналитический способ – работа с формулой (закон простых чисел).

В рамках исследования:

сделала самостоятельно проверку ряда математических утверждений путем подстановки значений, получив верные математические выражения,

определила ряд чисел «Двойники» и «Близнецы»,

составила ряд числовых выражений, обозначенных в проблемах Ландау,

проверила, что квадраты с матрицей 3х3, 4х4., 6х6 магические,

решила две задачи двумя способами на применение закона простых чисел и утверждений.

В процессе работы над темой я убедилась в том, что простые числа остаются существами, всегда готовыми ускользнуть от исследователя. Простые числа есть «сырой материал» из которого формируется арифметика, и что существуют неограниченные запасы этого материала.

Меня заинтересовали специалисты в области криптографии, которые с недавних пор пользуются известным спросом в секретных организациях. Именно они находят все новые и новые большие простые числа для постоянного обновления списка возможных ключей и стараются выявить все новые закономерности в распределении простых чисел. Простые числа и криптография - это моя дальнейшая тема по изучению теории простых чисел.

Считаю, что работа может быть использована на во внеурочной деятельности, на факультативных занятиях учащихся 6-7 классов, как дополнительный материал к урокам математики в 6 классе при подготовке сообщений по теме. Тема исследования очень интересна, актуальна, не имеет границ изучения, должна вызвать широкий интерес у учащихся.

Библиографический список

// . - 1975. - № 5. - С. 5-13.

Н. Карпушина. // . - 2010. - № 5.

Энрике Грасиан - "Простые числа. Долгая дорога к бесконечности" серия "Мир математики" том.3 Де Агостини 148с, 2014